Al elevar un binomial a la segunda potencia, usamos el método de aluminio. Podemos elevar un binomial al tercer potencia utilizando el método de aluminio y luego multiplicar el resultado por el binomial original. A medida que elevamos un binomial a poderes superiores, este método se vuelve cada vez más tedioso y lento. El teorema binomial nos permite expandir estas expresiones binomiales mucho más fácilmente. Antes de aprender el teorema binomial, debemos aprender sobre el coeficiente binomial.
Un coeficiente binomial lee “ n arriba r ” o “ n elige r “para enteros no negativos n y r donde n â ‰ ¥ r se define como n! / [r! (n-r)!]. El símbolo N C R a menudo se usa para denotar coeficientes binomiales. Recuerde que n! = n (n – 1) (n – 2) (n – 3) …… 1, entonces 4! = 4 (3) (2) (1). Cuando evaluamos las expresiones binomiales elevadas a un poder, hay un patrón que se desarrolla. Por ejemplo, tomamos la expresión binomial ( x + y ) y la elevamos a la potencia n th, Donde n = 1, 2, 3, â € … …
(x + y)^1 = x + y
(x + y)^2 = x^2 + xy + xy + y^2 = x^2 + 2xy + y^2
( x + y )^3 = ( x + y )^2 ( x + y ) = ( x^ 2 + 2 xy + y^ 2) ( x + y ) = x^ 3 + ( x^ 2) y + (2 x^ 2) y + 2 xy^ 2 + ( y^ 2) x + y^ 3 = x^ 3 + (3 x^ 2) y + 3 xy^ 2 + y^ 3
( x + y )^4 = (<< i> x + y )^ 3 ( x + y ) = ( x^ 3 + (3 x ^ 2) y + 3 xy^ 2 + y^ 3) ( x + < i> y ) = x^ 4 + ( x^ 3) y + (3 x^<// i> 3) y + (3 x^ 2) y^ 2 + (3 x^ 2) y^ 2 + 3 xy^ 3 + ( y^ 3) x + y^<< /i> 4 = x^ 4 + (4 x^ 3) y + (6 x^ 2 ) y^ 2 + 4 xy^ 3 + y^ 4
Observe que la expansión de cada uno de los binomiales es un polinomio. Algunos patrones observados son los siguientes:
1. Cada expansión comienza con el término x^n.
2. Los exponentes en x disminuyen en 1 con cada término.
3. Los exponentes en y comienzan con 0. Dado que y^0 = 1, no hay y en el primer término.
4. Los exponentes en y aumentan en 1 con cada término.
5. La suma de los exponentes en cualquier término siempre es igual a n.
6. El número de términos es siempre 1 más que n.
Ilustramos los 6 patrones anteriores con la expansión de (x + y)^3 = x^3 + (3x^2) y + 3xy^2 + y^3.
1. El primer término es x^3. Como n = 3, es cierto que x^n = x^3.
2. Los exponentes para X en los siguientes términos son 2,1 y 0, lo que es cierto que los exponentes para x disminuyen en 1 cada término.
3. El no es Y en el primer término, por lo tanto, es cierto que los exponentes para y comienzan en 0, ya que y^0 = 1.
4. Los exponentes para y en los siguientes términos son 1, 2, y 3, lo que es cierto que los exponentes para y aumentan en 1 cada término.
5. La suma de los exponentes por término es la siguiente, 3 + 0 = 1, 2 + 1 = 3, 1 + 2 = 3 y 0 + 3 = 3. Dado que n = 3, es cierto que el suma de los exponentes de cualquier término es igual a n.
6. Hay 4 términos en la expresión, por lo tanto, es cierto que el número de términos es 1 más que n.
demostramos el patrón en la parte variable de las expansiones binomiales. Nosotros los coeficientes binomiales estadounidenses con el patrón para crear el teorema binomial, que se usa para expandir las expresiones binomiales, dado que el poder del binomial es positivo.
El teorema binomial es el siguiente:
(x + y)^n = nco (x^n) + nc1 (x^(n-1)) y + nc2 (x^(n-2) y^2) + nc3 (x^(n -3) y^3)+ …..+ ncn (y^n), donde
Por ejemplo, expandir (x+ 5)^4 usando el teorema binomial.
< p> (x + 5)^4 = 4c0 (x^4) + 4c1 (x^3) (5) + 4c2 (x^2) (5^2) + 4c3 (x) (5^3) + 4C4 (5^4)
(x + 5)^4 = x^4 + 20x^3 + 150x^2 + 500x + 625.
Está claro que conocer y usar el El teorema binomial es una forma más conveniente de simplificar las expresiones binomiales cuando el exponente del binomial es positivo y mayor que 2. intente usarlo varias veces y nunca querrá expandir los binomiales de otra manera.
