Terminé mi último álgebra abstracta con (Q,*). Lo que realmente quise decir es (Q, *). ¿Por qué no puede estar 0 en el grupo? Bueno, porque 0 * x = 1 no tiene solución. Del mismo modo, quise decir (c, *) y (r, *).
Creí que también mencionamos que una colección de n por n matrices es un grupo con multiplicación matriz. Curiosamente, este grupo no es control.
OK, esos son todos excelentes ejemplos, pero vamos a algo interesante.
Comience con el grupo (C, *). Ya conocemos un puñado de subgrupos de este grupo. Ahora, piense en {1, -1}. ¿Podría esto ser un subgrupo? Hasta ahora, hemos tenido grupos con un número infinito de elementos, ¿podrían haber grupos finitos?
bien, ({-1,1},*) tiene una identidad. Obviamente es conmutativo y asociativo. Cada elemento tiene un inverso (-1 * -1 = 1; 1 * 1 = 1). ¿Está cerrado? Bueno, 1 * -1 = -1, -1 * -1 = 1, 1 * 1 = 1, y eso es todo lo que hay que intentar, así que sí, está cerrado. Por lo tanto, {-1,1} es un grupo, y un subgrupo de los racionales.
ahora, ¿qué tal {1, -1, i, -i}? Del mismo modo, es obviamente conmutativo y asociativo. Supongo que deberíamos averiguar si está cerrado. Ya sabemos sobre 1 y -1. Entonces i * i = -1, i * -i = -( -1) = 1, i * 1 = i, i * -1 = -i. A través de un razonamiento similar, podemos ver que {1, -1, i, -i} está cerrado. Sabemos que 1 es la identidad. ¿Qué pasa con los inversos? 1 y -1 hay inversos propios. Ahora i * -i = -i * i = 1, entonces I y -i son inversos. Entonces, según nuestra definición del grupo, ({1, -1, i, -i}, *) es un grupo.
Veamos algunos grupos más finitos. Considere los enteros z y un subgrupo como (6). Es decir, -6, 0, 6, 12, … esto se llama “grupo factor” z/(6). Ahora piense en 1 + (6) que produce 1, 7, 13, 19, … esto se llama Coset del grupo Factor. Si lo piensa, hay esencialmente 6 cosetas del grupo factor Z/(6): {0 + (6), 1 + (6), 2 + (6), 3 + (6), 4 + (6 ), 5 + (6)}. Es fácil ver que 6 +(6) = 0 +(6). En aras de la notación fácil, lo llamamos Z6 = {0,1,2,3,4,5}.
Si lo mencioné, entonces probablemente haya pensado que este es un grupo. (Ya lo llamé un grupo de factores …) De todos modos, verifiquemos esto. Ahora, 0 es nuestra identidad. Su asociativo y conmutativo. Nuestras preguntas son si hay o no inversos y cierres.
Bueno, 1 + 5 = 6, pero sabemos que 6 = 0, por lo que 1 y 5 son inversos. Del mismo modo, 2 + 4 = 0 y 3 + 3 = 0. Por lo tanto, ahora sabemos que cada elemento tiene un inverso, pero ¿qué pasa con el cierre? Bueno, tomemos 2 + 5, por ejemplo. 2 + 5 = 7, pero 7 es un elemento de 1 + (6). Entonces 2 + 5 = 1. Del mismo modo, 4 + 4 = 2, 5 + 5 = 4, y si construimos una tabla de adición, podríamos ver que (Z6, +) de hecho está cerrado y, por lo tanto, un grupo.
Creo que también podríamos ver que Z7, Z99, Z58, etc. son todos los grupos. ¿Una pregunta perfectamente lógica sería si Z6 es un subgrupo de Z12? En Z12, 5 + 4 = 9 + (12) (…, 9, 17, 33, …), pero en Z6 5 + 4 = 3 + (6) (…, 3,9,15 , …). Se ve fácilmente que Z6 no es un subgrupo de Z12. Sin embargo, Z12 tiene subgrupos ({{0,2,4,6,8,10} por ejemplo).
Hasta este punto, acabamos de discutir grupos con números, matrices o conjuntos de múltiplos. Sin embargo, los grupos no se limitan a los números.
Tome un cuadrado. Ahora pensemos en la colección de simetrías de la plaza. Una simetría es una rotación o un flip donde el mismo espacio exacto está ocupado por esa forma (una definición informal). Esta colección de simetrías sería {I (no mover el cuadrado), R90 (rotación 90 grados), R180, R270, FH (voltee aproximadamente una línea horizontal a través del medio), FV, FNE (voltee a través del noreste de la diagonal), Fnw}.
Esta colección puede ser difícil de ver sin un diagrama, pero desafortunadamente estoy limitado a las palabras. Es fácil cortar un pequeño cuadrado de un trozo de papel y etiquetar sus vértices A, B, C, D. Puede construir una tabla de multiplicación con esta colección para verificar que cada elemento tenga un inverso y está cerrado. Ahora podemos ver que este es un grupo. Se llama grupo diédrico D4.
De manera similar, podemos construir D5 con un pentágono, D6 con un hexágono y etc.
Los ejemplos de grupos no se limitan a lo que tenemos visto. Solo pensé en mencionar algunos de ellos que pensé que eran interesantes. Si está interesado, debe buscar grupos de permutación también.
