Resolver secuencias geométricas
Las secuencias aritméticas se forman por suma, mientras que las secuencias geométricas se forman por multiplicación. Las secuencias geométricas también se llaman progresiones geométricas.
Una secuencia geométrica es aquella en la que cada término se multiplica por el mismo número para obtener el siguiente término. Este número se conoce como la relación común r,
donde r * a n = a n + 1 para n = 1, 2, 3, ……….
r quizás positivo o negativo.
Problema uno:
Verifique si cada una de las siguientes secuencias es en realidad un secuencia geométrica.
(a) 5,000 20,000 80,000 32,0000
Aquí a = 5000, r = 20,000/5,000 = 4
(b) 10, 000 5,000 2,500 1,250
a = 10,000 r = 5,000/10,000 = â½
(c) 1,000 2,200 4,840 10,648
a = 1000 r = 2,200/1,000/1,000/1,000 = 2.2
Todos los anteriores son ejemplos de secuencias geométricas.
La fórmula para encontrar el enésimo término de una cierta progresión geométrica se da como:
a n = a r n-1
donde a = primer término
r = relación común
r = a 2 /a 1 = a 3 /a 2 = a n + 1 /a n
n = número de términos
an = el enésimo término
número dos: < /p>
Encuentre el octavo término de la secuencia geométrica que comienza con â¾ y 3/5.
Solución:
La relación es: r = 3/5 â · ¾ = 4/5
a = â¾ n = 8 n – 1 = 8 – 1 = 7
Sustituyendo la fórmula anterior:
a 8 = â¾ * (4/5) 7
= â¾ * 16,384/78,125
= [(4,096) * 3] /78, 125
= 12,288/78,125
La fórmula para encontrar la suma (sn) de los primeros n términos de una secuencia geométrica con la relación de primer término y común, donde r no debe ser igual a 1 se da como:
sn = [a (r n – 1)]/r – 1
Número de problema tres :
Encuentre la suma de los primeros diez términos de la serie geométrica que comienzan con -5 y 15.
Solución:
r = 15/-5 = -3
a = -5
n = 10
sn = [-5 (-3 10 -1)] /-3-1
= [-5 (59,049-1)]/-4 = -5 (59,048)/-4 = -295,240/-4 = 73,810
Alternativa Fórmula para sn:
sn = (a – r a n )/1 – r
Número de problema cuatro:
el El primer término de una secuencia geométrica es 5 y el cuarto término es -320.
Encuentre el octavo término y la suma de los primeros ocho términos.
Solución:
<
< P> Se nos da con a = 5, si primero usamos n = 4 en la fórmula
an = a r n – 1 obtenemos,
-320 = 5 r 3
r 3 = – 320/5 = -64
r = – 4 < /p>
Luego usamos n = 8 en la fórmula para un y Sn
a 8 = 5 (-4) 7 = 5 (-16, 384) = -81, 920
s 8 = (a – r an)/1 – r
= [5 – (-4) (-81,920)] /1 -(-4)
= [5 -327, 680] /5
= -327, 675 /5 </p >
= -65, 535
Número de problema cinco:
Encuentre R y A IF S 5 = 1, 563 y A 5 = 1, 875
Solución:
Primero, usamos la fórmula para un:
1,875 = a r 4 < /sup> Sea esta ecuación (1).
Luego usamos la fórmula para Sn,
1, 563 = (A – 1,875 r)/1 – R que sea Ecuación (2)
Resolviendo la segunda ecuación para A We obtenemos,
(1 – R) (1,563) = A – 1, 875 R
1,563 – 1,563r = a – 1, 875 r
312 r + 1,563 = a o a = 312 r + 1, 563, que esta sea la ecuación (3)
Sustituyendo este valor En la primera ecuación, ahora tenemos
1,875 = (312 R + 1,563) R 4
1, 875 = 312 R 5 < /sup> + 1,563 r 4 0R 312 R 5 + 1, 563 R 4 – 1, 875 = 0
Al usar el teorema en ceros racionales de la función polinomial, encontramos que una de las
solución es r = -5.
Sustituyendo r = -5 en la ecuación (3)
a = 1, 563 + (312) (-5)
a = – 1,560 + 1, 563 = 3
Fuente: álgebra universitaria </ P>
Paul K. Rees
Fred W. Sparks Charles Sparks Rees
