Esta sección de problemas y soluciones de muestra es parte de la guía de estudio gratuita del actuario para el examen 3F / examen MFE, escrito por el Sr. Stolyarov.
Esta es la sección 16 de la guía de estudio . Vea la Sección 1 aquí. Vea la Sección 2 aquí. Vea la Sección 3 aquí. Vea la Sección 4 aquí. Vea la Sección 5 aquí. Vea la Sección 6 aquí. Vea la Sección 7 aquí. Vea la Sección 8 aquí. Vea la Sección 9 aquí. Vea la Sección 10 aquí. Vea la Sección 11 aquí. Vea la Sección 12 aquí. Vea la Sección 13 aquí. Vea la Sección 14 aquí. Consulte la Sección 15 aquí.
Aquí, desarrollamos el modelo de precios de opción binomial de un período introducido en la Sección 15.
La probabilidad de riesgo neval <//////// b> de un aumento en el precio de las acciones de S a nosotros en el próximo período de tiempo es P*, que se puede expresar de la siguiente manera:
P* = (E (r -∠‚) h – d)/(u – d)
Entonces el precio de una opción de compra en la acción hoy usando el modelo de precios de opción binomial de un período es
c = E -rh [p*c u + (1 – p*) c d ]
además, el El precio no descontado esperado de la acción hoy es
e (r -∠‚) h s = (p*) us + (1 – p*) ds = f T, T+H
Entonces, el modelo binomial de un período se puede usar para determinar el precio del contrato a plazo en las acciones en cuestión. P* puede considerarse como la probabilidad de que el precio de las acciones esperado sea el precio a plazo.
Significado de variables:
c = precio de opción de llamada actual.
C u = El precio de la opción de llamada si el precio de las acciones aumenta.
c d = el precio de la opción de llamada si el precio de las acciones disminuye. </ P>
S = precio actual de las acciones.
u = 1 + tasa de ganancia de capital en las acciones si aumenta el precio de las acciones.
d = 1 + tasa de pérdida de capital en acciones Si disminuye el precio de la acción.
r = tasa de interés libre de riesgo sin riesgos anual y continuamente compuesto. sub> t, t + h = precio del contrato a plazo hecho en el tiempo t y expirando en el tiempo t + h.
h = un período de tiempo en el modelo binomial.
< P> Fuente: McDonald, R.L., mercados de derivados (segunda edición), Addison Wesley, 2006, cap. 10, pp. 320-321.
Problema RNPBOP1. Al final de 1 año, el precio de las acciones de Digital Co. puede cambiar por un factor de 1.5 o por un factor de 0.7. La tasa anual de interés libre de riesgo continuamente compuesta es 0.12, y el rendimiento anual de dividendos anuales de la acción es 0.09. Usando el modelo de precios de opción binomial de un período, calcule la probabilidad de riesgo neutral del aumento en el precio de las acciones de Digital Co.
RNPBOP1. Utilizamos la fórmula P *) . Por lo tanto, P* = (E (0.12-0.09) – 0.7)/(1.5 – 0.7) = P* = 0.4130681674 .
Problema RNPBOP2. Atypical, Inc., paga dividendos en sus acciones con un rendimiento anual de 0.05. En dos meses, el precio de sus acciones podría ser el doble de lo que es ahora o la mitad de lo que es ahora. La probabilidad de riesgo neutral del aumento en el precio de las acciones de Atypical, Inc. es 0.56. Utilizando el modelo de precios de opción binomial de un período, ¿cuál es la tasa de interés libre de riesgo anual sin compras? sup> (r -∠‚) h – d)/(u – d) y reorganizarlo así:
p*(u – d) + d = e (r -∂) h . Aquí, h = 1/6, u = 2, d = 0.5, ∠‚= 0.05 y p* = 0.56. Entonces
e (r-0.05)/6 = 0.56 (2-0.5) + 0.5 = 1.34
ln (1.34) = 0.292669614 = (r – 0.05)/6
r = 6*0.292669614 + 0.05 = r = 1.806017684 (no, esto no es un error tipográfico. Esto solo significa que el anual sin riesgo continuamente compuesto continuamente La tasa de interés es de aproximadamente el 180.6%. Atípico, lo sé).
Problema RNPBOP3. Las acciones de LLC de buena reputación se venderán por $ 130 o $ 124 dentro de un año a partir de ahora. La tasa de interés anual continuamente compuesta es 0.11. La probabilidad de riesgo neutral de un aumento en el precio de las acciones (a $ 130) es 0.77. Usando el modelo de precios de opción binomial de un período, encuentre el precio actual de una opción de compra en acciones de LLC de buena reputación con un precio de ejercicio de $ 122.
Solución RNPBOP3. Utilizamos la fórmula C = E -rh [(P*) C U + (1 – P*) C D ]. En un año, si la acción es de $ 130, la llamada valdrá la C U = 130 – 122 = $ 8. Si la acción está en $ 124, la llamada valdrá la c d = 124 – 122 = $ 2. P* = 0.77, h = 1, r = 0.11. Por lo tanto,
c = e -0.11 [0.77*8 + (1 – 0.77) 2] = c = $ 5.930421976 .
<< P> Problema RNPBOP4. La probabilidad de que las acciones de Respetable Co. sean $ 555 dentro de un año es 0.6. La probabilidad de que las acciones de Respetable Co. sean $ 521 dentro de un año es 0.4. Usando el modelo de precios de opción binomial de un período, ¿cuál es el precio de un contrato a plazo de un año en stock de Co. Respetable?
RNPBOP4. Usamos la fórmula ( P*) US + (1 – P*) ds = F T, T + H , donde us = 555, ds = 521 y p*= 0.6. Por lo tanto, 0.6*555 + 0.4*521 = F T, T + 1 = 541.4
Problema RNPBOP5. El Las acciones de Discrete Co. serán $ 43, con probabilidad de 0.2 o $ 49, con probabilidad 0.8, en dos años. La tasa de interés anual continuamente compuesta es 0.05, y el rendimiento anual de dividendos continuamente compuestos es 0.02. Usando el modelo de precios de opción binomial de un período, encuentre el precio esperado de las acciones de Discrete Co. hoy.
Solución RNPBOP5. Aquí, h = 2, r = 0.05 y ∠‚ = 0.02 (entonces r – ∠‚= 0.03), p* = 0.8, us = 49 y ds = 43. Usamos la fórmula e (r -∂) h s = (p* ) US + (1 – P*) DS
Por lo tanto, E 0.03*2 s = 0.8*49 + 0.2*43 = 47.8
S = 47.8e -0.06 = s = $ 45.01634471
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