Esta sección de problemas y soluciones de muestra es parte de la guía de estudio gratuita del actuario para el examen 3F / examen MFE, escrito por el Sr. Stolyarov.
Esta es la sección 19 de la guía de estudio . Vea la Sección 1 aquí. Vea la Sección 2 aquí. Vea la Sección 3 aquí. Vea la Sección 4 aquí. Vea la Sección 5 aquí. Vea la Sección 6 aquí. Vea la Sección 7 aquí. Vea la Sección 8 aquí. Vea la Sección 9 aquí. Vea la Sección 10 aquí. Vea la Sección 11 aquí. Vea la Sección 12 aquí. Vea la Sección 13 aquí. Vea la Sección 14 aquí. Vea la Sección 15 aquí. Vea la Sección 16 aquí. Vea la Sección 17 aquí. Consulte la Sección 18 aquí.
El precio de la opción binomial con puts se puede hacer utilizando exactamente las mismas fórmulas y herramientas conceptuales desarrolladas en las secciones 15-18, excepto que calcular el precio de la presentación en la cadena utiliza la fórmula P = max (0, k – s) en lugar de c = max (0, s – k).
Aquí, usaremos modelos binomiales de uno y dos períodos para todos los problemas de práctica, porque el objetivo de Esta sección es establecer el enfoque Conceptual para el precio de la opción binomial con PUTS. Los estudiantes deben ser conscientes de que este enfoque también puede traducirse a modelos de múltiples períodos más grandes, utilizando el mismo procedimiento esencial que el ilustrado aquí.
Fuente: McDonald, R.L., mercados de derivados (Segunda edición), Addison Wesley, 2006, cap. 10, pp. 328-329.
Problemas de práctica y soluciones originales de la guía de estudio gratuita del actuario:
Problema Bopwp1. Las acciones de Predectable Co. actualmente valen $ 100 por acción. En un año, este precio puede ser de $ 120 o $ 90. Las acciones de Predectable Co. no paga dividendos. La tasa de interés anual libre de riesgo compuesta continuamente es del 5%. El precio de ejercicio de una opción de venta europea en las acciones de Predectable Co. es de $ 130. Usando, el modelo de precios de opción binomial de un período, encuentre el precio hoy de una de esas opciones de venta en stock de Co. Predectable.
Solución BOPWP1. Primero, consideramos la opción de venta Price Tree
P – – – P U
P – – – P D
en Un año, si la acción vale $ 120, la opción de venta valdrá p u = 130 – 120 = 10.
Si la acción vale $ 90, la opción de ordinar vale la pena P D = 130 – 90 = 40.
Nos dan ∠‚= 0, r = 0.05, s = 100, h = 1, u = 1.2, y d = 0.9.
Todavía podemos usar la misma fórmula para la probabilidad de riesgo-neutral del precio de las acciones aumentando el próximo año:
p* = (( e (r -∠‚) H – d)/(u – d) = (e 0.05 – 0.9)/(1.2 – 0.9) = P* = 0.5042369879
También notamos que
p = e -rh [p*p u + (1 – p*) p d ] = e -0.05 [0.5042369879*10 + (1 – 0.5042369879) 40] =
p = $ 23.65982519 /P>
Problema BOPWP2. Actualmente, la tasa de interés anual continuamente compuesta es 0.11. Las acciones de Company Co. cotizan por $ 23 por acción, y el rendimiento anual de dividendos continuamente compuestos en las acciones de Company Co. es 0.05. En dos meses, las acciones de Company Co. comerciarán por $ 18 por acción o $ 29 por acción. El precio de ejercicio de una opción de venta europea en las acciones de Company Co. es de $ 30. Usando el modelo de precios de opción binomial de un período, encuentre el precio hoy de una de esas opciones de venta en las acciones de Company Co. , Consideramos el árbol de precios de la opción de venta
P – – – P U
P – – – P D
En 2 meses, si la acción vale $ 29, la opción de venta valdrá la pena P U = 30 – 29 = 1.
Si el stock vale $ 18, la opción POT valdrá p d = 30 – 18 = 12.
se nos da ∠‚= 0.05, r = 0.11, s = 23, h = 1 /6, u = 29/23 y d = 18/23.
p* = (e (r -∠‚) h – d)/(u – d ) =) > -rh [p*p u + (1-p*) p d ] = e -0.11/6 [[ 0.4755594403*1 + (1 – 0.4755594403) 12] =
p = $ 6.645881266
Problema BOPWP3. del stock de reputación LLC se venderá por $ 130 o $ 124 dentro de un año. La tasa de interés anual continuamente compuesta es 0.11. La probabilidad de riesgo neutral de un aumento en el precio de las acciones (a $ 130) es 0.77. Usando el modelo de precios de opción binomial de un período, encuentre el precio actual de una opción de venta europea de un año en acciones de LLC de buena reputación con un precio de ejercicio de $ 160.
Solución BOPWP3.
Observamos que p u = 160 – 130 = p u = 30 y
p d = 160 – 124 = P D = 36.
Aquí, P* = 0.77, H = 1 y R = 0.11.
Entonces P = E -rh [P*P U + (1-P*) P D ] = E -0.11 [0.77*30 + (1 – 0.77) 36] = p = $ 28.11127517
Problema BOPWP4. Gregarious, Inc., Stock es actualmente actualmente vale $ 56. Cada año, puede cambiar en un factor de 0.9 o 1.3. La acción no paga dividendos, y la tasa anual de interés libre de riesgo continuamente compuesta es 0.04. Utilizando un modelo de precios de opción binomial de dos periodos, encuentre el precio hoy de una opción de venta europea de dos años en Gregarious, Inc., acciones con un precio de ejercicio de $ 120.
Solución BOPWP4. En un año, el stock valdrá s u = 1.3*56 = 72.8, o valdrá la pena s d = 0.9*56 = 50.4. En dos años, el stock valdrá la pena
s uu = 1.3 2 *56 = 94.64 o s Ud = S du = 1.3*0.9*56 = 65.52 o s dd = 0.9*0.9*56 = 45.36.
en S UU = 94.64, el put vale p uu = 120 – 94.64 = p uu = 25.36
at s du = 65.52, el put vale p du = 120 – 65.52 = p du = 54.48
en S dd = 45.36, la llamada vale p dd = 120 – 45.36 = p dd = 74.64
Ahora calculamos p* = (e (r -∠‚) h – d)/(u – d) = (e 0.04 – 0.9)/(1.3 – 0.9) = 0.3520269355.
Observamos que puede haber un cálculo directo del precio put hoy utilizando los tres precios posibles en dos períodos a partir de ahora utilizando el modelo binomial. La fórmula podría tener sentido intuitivo para usted si considera la forma en que funciona una distribución de probabilidad binomial:
p = e -2rh [(p*) 2 P uu + (P*) (1 -P*) P UD + (1 – P*) 2 P DD ]
p = e -2*0.04 [(0.3520269355) 2 25.36 + (0.3520269355) (1- 0.3520269355) 54.48 + (1 – 0.3520269355) 2 74.64] = p = $ 43.30229835 .
Este enfoque es mucho más rápido que encontrar los precios intermedios de la venta. El tipo de fórmula idéntico se puede aplicar para el precio de las llamadas utilizando el modelo binomial de dos períodos también.
Problema BOPWP5. Complicated, Inc., paga dividendos en su stock en un rendimiento anual compuesto continuamente de 0.06. La tasa de interés efectiva anual es 0.09. Complicated, Inc., las acciones valen actualmente $ 100. Cada dos años, puede cambiar en un factor de 0.7 o 1.5. Utilizando un modelo de precios de opción binomial de dos periodos, encuentre el precio hoy de una opción de venta europea de cuatro años en Gregarious, Inc., stock con un precio de ejercicio de $ 130.
Solución BOPWP5. se nos da que r = 0.09, ∠‚= 0.06 y H = 2. Por lo tanto,
(r -∂) h = (0.09 – 0.06)*2 = 0.06.
p* = (e (r -∠‚) h – d)/(u – d). Aquí, para cada período de tiempo, P* = (E 0.06 – 0.7)/(1.5 – 0.7) = P* = 0.4522956832.
encontramos
S uu = 1.5 2 *100 = 225, lo que implica que p uu = 0
s UD = s du = 1.5*0.7*100 = 105, lo que implica que P Ud = 130 – 105 = P Ud = 25
s dd = 0.7 2 *100 = 49, lo que implica que p dd = 130 – 49 = P DD = 81.
Ahora usamos la excelente fórmula que ahorra tiempo
p = e -2rh [(P *) 2 p uu + (p*) (1 -p*) p ud + (1 – p*) 2 p dd ] =
e -2*0.09*2 [0 + (0.4522956832) (1-0.4522956832) 25 + (( 1 – 0.4522956832) 2 81] =
p = $ 21.27319
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