Esta sección de problemas y soluciones de muestra es parte de la guía de estudio gratuita del actuario para el examen 3F / examen MFE, escrito por el Sr. Stolyarov.
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La fórmula negra para fijar el precio de las opciones europeas en un contrato de futuros es el siguiente:
Para opciones de compra:
c (f, k , σ, r, t, r) = Fe -rt n (d 1 )-ke -rt n (d 2 ), donde
d 1 = [ln (f/k) + (0.5ïƒ 2 ) t]/[ïƒâˆš (( T)] y d 2 = d 1 – ïƒâˆš (t)
Para opciones de venta:
p (f, K, ïƒ, r, t, r) = ke -rt n (-d 2 )-Fe -rt n (-d < Sub> 1 )
Además, la paridad de call califica:
p (f, k, ïƒ, r, t, r) = c (f, k, ïƒ, r , T, r) + (k – f) e -rt
Significado de variables:
f = contrato de futuros Precio.
k = precio de ejercicio de la opción.
c = precio de opción de llamada.
p = precio de opción de venta.
σ = Volatilidad del precio del contrato de futuros anual.
r = tasa de interés libre de riesgos de moneda continua continua anual. , R.L., mercados de derivados (segunda edición), Addison Wesley, 2006, cap. 12, pp. 381-382.
Problema BFPOFC1. Los contratos de futuros en superwidgets actualmente funcionan por $ 444 por superwidget. La volatilidad del precio del contrato de futuros anual es de 0.15, y la tasa de interés de riesgo sin riesgo anual de moneda continuamente compuesta es de 0.03. Las opciones de venta europea se escriben en contratos de futuros de superwidget, con un precio de ejercicio de $ 454 y tiempo para vencer 2 años. Encuentre el valor de D 1 en la fórmula negra para el precio de dicha opción de venta.
Solución BFPOFC1. Usamos la fórmula d 1 = [ln (f/k) + (0.5ïƒ 2 ) t]/[ïƒâˆš (t)], donde f = 444, k = 454, t = 2, σ = 0.15. Por lo tanto, d 1 = [ln (444/454) + (0.5*0.15 2 ) 2]/[0.15√ (2)] = d 1 = 0.001071806
Problema BFPOFC2. Contratos de futuros en superwidgets actualmente operan por $ 444 por superwidget. La volatilidad del precio del contrato de futuros anual es de 0.15, y la tasa de interés de riesgo sin riesgo anual de moneda continuamente compuesta es de 0.03. Las opciones de venta europea se escriben en contratos de futuros de superwidget, con un precio de ejercicio de $ 454 y tiempo para vencer 2 años. Encuentre el valor de D 2 en la fórmula negra para el precio de dicha opción de venta.
Solución BFPOFC2. Utilizamos la fórmula d 2 = d 1 – ïƒâˆš (t), donde d 1 = 0.001071806 de la solución BFPOFC1, t = 2 y ïƒ = 0.15. Por lo tanto, D 2 = 0.001071806 – 0.15√ (2) = d 2 = -0.21110602284
Problema BFPOFC3. Los contratos de futuros en superwidgets actualmente funcionan por $ 444 por superwidget. La volatilidad del precio del contrato de futuros anual es de 0.15, y la tasa de interés de riesgo sin riesgo anual de moneda continuamente compuesta es de 0.03. Las opciones de venta europea se escriben en contratos de futuros de superwidget, con un precio de ejercicio de $ 454 y tiempo para vencer 2 años. Use la fórmula negra para encontrar el precio de una de esas opciones de venta.
Solución BFPOFC3. Usamos la fórmula P (F, K, ïƒ, R, T, R) = = Ke -rt n (-d 2 )-Fe -rt n (-d 1 ), donde se da que F = 444, k = 454, r = 0.03, t = 2, ïƒ = 0.15. Además, a partir de las soluciones BFPOFC1-2 que d 1 = 0.001071806 y D 2 = -0.21110602284.
en MS Excel, usando la entrada “= Normsdistististist (-0.001071806) “, encontramos que n (-d 1 ) = 0.499572409
en MS Excel, usando la entrada” = NormsDist (0.21110602284) “, encontramos que N (-D 2 ) = 0.5835977
Por lo tanto, p (f, k, ïƒ, r, t, r) = 454e -0.03*2 0.5835977 – 444e -0.03*2 0.499572409 = p (f, k, ïƒ, r, t, r) = $ 40.63074147
Problema BFPOFC4. Los contratos de futuros en superwidgets actualmente funcionan por $ 444 por superwidget. La volatilidad del precio del contrato de futuros anual es de 0.15, y la tasa de interés de riesgo sin riesgo anual de moneda continuamente compuesta es de 0.03. Las opciones de compra europeas se escriben en contratos de futuros de superwidget, con un precio de ejercicio de $ 454 y tiempo para vencer 2 años. Encuentre el precio de una de esas opciones de compra.
Solución BFPOFC4. Usamos la paridad de calado: P (f, k, ïƒ, r, t, r) = c ( F, k, ïƒ, r, t, r) + (k – f) e -rt , reorganizando la fórmula así: c (f, k, ïƒ, r, t, r) = p (F, K, ïƒ, R, T, R) + (F – K) E -rt . Desde F = 444 y K = 454, (F – K) = -10. También se nos da que t = 2, r = 0.03 y, de la solución BFPOFC3, P (F, K, ïƒ, R, T, R) = 40.63074147.
Así, c (f, k , σ, r, t, r) = 40.63074147 – 10e -0.03*2 = c (f, k, ïƒ, r, t, r) = 31.21309613 </< P>
Problema BFPOFC5. ¿El rendimiento de dividendos en la fórmula de Scholes Black-Scholes para el precio de la opción de existencia es análogo a cuál de estas variables en otras fórmulas relacionadas? Más de una respuesta puede ser correcta.
(a) La tasa de interés libre de riesgos en la fórmula de Scholes Black-Scholes para el precio de la opción de acciones.
(b) La tasa de interés libre de riesgo en la fórmula negra para el precio de la opción de contrato de futuros.
(c) La tasa de interés sin riesgo doméstica en la fórmula Garman-Kohlhagen para el precio de la opción de moneda.
(d) La tasa de interés libre de riesgos extranjeros en la fórmula Garman-Kohlhagen para los precios de las opciones de divisas.
(e) La volatilidad en la fórmula negra para el precio de la opción de contrato de futuros.
Solución BFPOFC5. Estamos buscando equivalentes para ∠‚en la fórmula de los scholes negros C (S, k, ïƒ, r, t, ∠‚) = se -∂t n (d 1 )-ke -rt N (d 2 ). Claramente, R no es necesariamente lo mismo que âˆ, en esta fórmula, por lo que (a) es incorrecto. En todas las variantes de los scholes negros, la fórmula, ïƒ es distinto de âˆ,, por lo que (e) es incorrecto. En la fórmula Garman-Kohlhagen, C (x, k, ïƒ, r, t, f) = xe -ft n (d 1 )-ke —- rt n (d 2 ), la tasa de interés libre de riesgos FRANSIONES es análoga a âˆ, mientras que el doméstico se interesa La tasa R se usa a la manera de R en todas las demás variantes de la fórmula de Scholes Black-Scholes. Por lo tanto, (c) es incorrecto y (d) es correcto. En la fórmula negra, c (f, k, ïƒ, r, t, r) = fe -rt n (d 1 )-ke -rt < /Sup> n (d 2 ), R se usa en lugar de R y âˆ, por lo que (b) es correcto. Por lo tanto, (b) y (d) son respuestas correctas.
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