Esta sección de problemas y soluciones de muestra es parte de la guía de estudio gratuita del actuario para el examen 3F / examen MFE, escrito por el Sr. Stolyarov.
Esta es la sección 33 de la guía de estudio . Vea la Sección 1 aquí. Vea la Sección 2 aquí. Vea la Sección 3 aquí. Vea la Sección 4 aquí. Vea la Sección 5 aquí. Vea la Sección 6 aquí. Vea la Sección 7 aquí. Vea la Sección 8 aquí. Vea la Sección 9 aquí. Vea la Sección 10 aquí. Vea la Sección 11 aquí. Vea la Sección 12 aquí. Vea la Sección 13 aquí. Vea la Sección 14 aquí. Vea la Sección 15 aquí. Vea la Sección 16 aquí. Vea la Sección 17 aquí. Vea la Sección 18 aquí. Vea la Sección 19 aquí. Vea la Sección 20 aquí. Vea la Sección 21 aquí. Vea la Sección 22 aquí. Vea la Sección 23 aquí. Vea la sección 24 aquí. Vea la Sección 25 aquí. Vea la Sección 26 aquí. Vea la Sección 27 aquí. Vea la Sección 28 aquí. Vea la Sección 29 aquí. Vea la Sección 30 aquí. Vea la Sección 31 aquí. Consulte la sección 32 aquí.
La fórmula de los scholes negros para el precio de opción es válida bajo los siguientes seis supuestos, según lo indicado por R. L. McDonald:
“1. Continuamente compuesto Los rendimientos de la acción se distribuyen normalmente e independientes con el tiempo.
“2. La volatilidad de los rendimientos compuestos continuamente es conocida y constante.
“3. Se conocen dividendos futuros, ya sea como un monto en dólares o como un rendimiento de dividendos fijo.
” 4. La tasa de interés libre de riesgos es conocida y constante.
“5. No hay costos de transacción ni impuestos.
” 6. Es posible vender sin costo y pedir prestado al ritmo sin riesgos. r, t, ∠‚) = se -∂t n (d 1 )-ke -rt n (d 2 )
donde d 1 = [ln (s/k) + (r – ∠‚ + 0.5ïƒ 2 ) t] /[Ïezas /p>
p (s, k, ïƒ, r, t, ∠‚) = ke -rt n (-d 2 )-SE -∂t n (-D 1 )
También podemos obtener la fórmula de poner a través de la paridad de llamas:
P (S, K, σ, r, t, ∠‚) = c (s, k, ïƒ, r, t, ∂) + ke -rt -se -∂t <
Significado de variables:
s = precio actual de acciones.
k = precio de ejercicio de la opción.
<
c = precio de opción de llamada.
P = precio de opción de venta.
ïƒ = volatilidad anual del precio de las acciones.
r = anual sin riesgo continuo sin riesgo. tasa de interés.
t = tiempo de vencimiento.
∠‚= anual rendimiento de dividendos compuestos continuamente.
Una nota sobre la función n (x ): n (x) se llama la función de distribución normal acumulativa. Es la probabilidad de que un número elegido aleatoriamente en la distribución normal estándar (donde media = 0 y varianza = 1) es menos de x. Es imposible integrar directamente la función de distribución de probabilidad normal para encontrar N (x). En el examen, se le dará una tabla de valores para N (x), por lo que dicha integración no será necesaria. Aquí, sin embargo, usaremos la función de Microsoft Excel Normsdist. Intente ingresar “= Normsdist (1)” en una celda en MS Excel. El resultado debe ser 0.84134474. El uso de este método nos dará una mayor precisión que usar una tabla.
También notamos que n (-x) = 1 -n (x), ya que la probabilidad de estar por debajo de -x dentro de la normalidad estándar normal La distribución es la misma que la probabilidad de estar por encima de x dentro de la distribución normal estándar.
procederemos suavemente con la aplicación de la fórmula, sus componentes y sus variantes para diferentes activos subyacentes. Habrá muchos usos para esta fórmula a lo largo de las futuras secciones de esta guía de estudio.
Fuente: McDonald, R.L., mercados de derivados (segunda edición), Addison Wesley, 2006, CH . 12, pp. 375-379.
Problemas de práctica y soluciones originales de la guía de estudio gratuita del actuario:
Problema BSF1. Las acciones de Blackscholesian Co. actualmente se venden por $ 1500 por acción. La volatilidad anual del precio de las acciones es de 0.2, y la tasa de interés anual sin riesgo continuamente compuesta es de 0.05. El rendimiento anual de dividendos continuamente compuestos de la acción es 0.03. Encuentre el valor de D 1 en la fórmula de Black-Scholes para el precio de una opción de compra en las acciones de Blackscholesian Co. con precio de ejercicio $ 1600 y tiempo para vencer 3 años.
Solución BSF1. Usamos la fórmula d 1 = [ln (s/k) + (r – ∠‚ + 0.5ïƒ 2 ) t ]/[Ïezas 1 = [ln (1500/1600) + (0.05 – 0.03 + 0.5*0.2 2 ) 3]/[0.2√ (3)] = d 1 = 0.1601034988
Problema BSF2. El stock de Blackscholesian Co. se vende actualmente por $ 1500 por acción. La volatilidad anual del precio de las acciones es de 0.2, y la tasa de interés anual sin riesgo continuamente compuesta es de 0.05. El rendimiento anual de dividendos continuamente compuestos de la acción es 0.03. Encuentre el valor de D 2 en la fórmula de Black-Scholes para el precio de una opción de compra en las acciones de Blackscholesian Co. con precio de ejercicio $ 1600 y tiempo para vencer 3 años.
Solución BSF2. Usamos la fórmula d 2 = d 1 – ïƒâˆš (t), donde, de la solución BSF1, D 1 = 0.1601034988 y se nos da que t = 3 y ïƒ = 0.2. Por lo tanto, D 2 = 0.1601034988 – 0.2√ (3) =
d 2 = -0.1863066628
Problema BSF3. El stock de Blackscholesian Co. actualmente se vende por $ 1500 por acción. La volatilidad anual del precio de las acciones es de 0.2, y la tasa de interés anual sin riesgo continuamente compuesta es de 0.05. El rendimiento anual de dividendos continuamente compuestos de la acción es 0.03. Use la fórmula de Scholes Black-Scholes para encontrar el precio de una opción de compra en las acciones de Blackscholesian Co. con precio de ejercicio $ 1600 y tiempo para vencer 3 años.
Solución BSF3. Usamos La fórmula c (s, k, ïƒ, r, t, ∠‚) = se –∂t n (d 1 )-ke -rt n (d 2 ), donde sabemos que s = 1500, k = 1600, r = 0.05, ∠‚= 0.03, ïƒ = 0.2 y t = 3. De la solución BSF1, d 1 = 0.1601034988. De la solución BSF2, D 2 = -0.1863066628.
encontramos n (d 1 ) a través de MS Excel usando la entrada “= NormsDist (0.1601034988) “= N (d 1 ) = 0.563600238.
Encontramos n (d 2 ) a través de MS Excel usando la entrada” = NormsDist (-0.1863066628 ) “= N (d 2 ) = 0.426102153
Así, c (s, k, ïƒ, r, t, ∂) = 1500e -0.03*3 0.563600238 – 1600e -0.05*3 0.426102153 =
c (s, k, ïƒ, r, t, ∠‚) = $ 185.8385153
Problema BSF4. El stock de Blackscholesian Co. se vende actualmente por $ 1500 por acción. La volatilidad anual del precio de las acciones es de 0.2, y la tasa de interés anual sin riesgo continuamente compuesta es de 0.05. El rendimiento anual de dividendos continuamente compuestos de la acción es 0.03. Encuentre el precio de una opción Put en las acciones de Blackscholesian Co. con precio de ejercicio $ 1600 y el tiempo de vencimiento de 3 años.
Solución BSF4. Recordamos Eso, dado que el precio de la llamada se conoce por la solución BSF3, podemos usar la paridad de llamas para obtener el precio de poner: P (S, K, ïƒ, R, T, ∠‚) = C (S, K, ïƒ, R , T, ∠‚) + ke -rt -se -∂t
donde c (s, k, ïƒ, r, t, t, ∠‚) = 185.8385153, s = 1500, k = 1600, r = 0.05, ∂ = 0.03, y t = 3.
Así, p (s, k, ïƒ, r, t, ∠‚) = 185.8385153 + 1600e -0.05*3 -1500e -0.03*3 =
p (s, k, ïƒ, r , T, ∠‚) = $ 192.0744997
Problema BSF5. Las acciones de Blackscholesian Co. se venden actualmente por $ 1500 por acción. La volatilidad anual del precio de las acciones es de 0.2, y la tasa de interés anual sin riesgo continuamente compuesta es de 0.05. El rendimiento anual de dividendos continuamente compuestos de la acción es 0.03. Dentro de la fórmula de Black-Scholes por el precio de una opción Put en las acciones de Blackscholesian Co. con precio de ejercicio $ 1600 y tiempo para vencer 3 años, encuentre el valor de n (-d 2 ).
Solución BSF5. Usamos la fórmula n (-x) = 1 – n (x). Sabemos por la solución BSF3 que N (D 2 ) = 0.426102153. Por lo tanto, n (-D 2 ) = 1 – N (d 2 ) = 1 – 0.426102153 = n (-d 2 ) = 0.573897847
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