Esta sección de problemas y soluciones de muestra es parte de la guía de estudio gratuita del actuario para el examen 3F / examen MFE, escrito por el Sr. Stolyarov.
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La ecuación diferencial parcial de los scholes negros o la ecuación de scholes negros (a diferencia de los scholes negros fórmula ) es la siguiente: < br> rc (s t ) = (1/2) ïƒ 2 s t 2 î “ t + rs t ∠† t + î¸
Esta ecuación es válida para las llamadas estadounidenses y europeas, pero no En momentos en que es óptimo ejercer las opciones temprano.
La ecuación de los scholes negros tiene los siguientes supuestos:
1. El activo subyacente no paga ningún dividendos. >
2. La opción no paga ningún dividendos.
3. La tasa de interés y la volatilidad son constantes.
4. El stock mueve una desviación estándar durante un pequeño tiempo Intervalo.
Fuente: McDonald, R.L., mercados de derivados (segunda edición), Addison Wesley, 2006, cap. 13, pp. 429-430.
Significado de variables:
s t = precio de las acciones en el tiempo t. < /p>
c = precio de opción de llamada.
∠† = opción delta.
î “= opción gamma.
î¸ = opción theta
r = tasa de interés libre de riesgo continua y compuesta continuamente
ïƒ = Desviación estándar anual del movimiento del precio de las acciones.
Problemas y soluciones de práctica originales De la guía de estudio gratuita del actuario:
Problema BSPDF1. Las acciones de la Compañía îž tienen un precio actual de $ 56 por acción, y la desviación estándar de su precio es 0.34. Una cierta opción de compra en este stock tiene un delta de 0.42, un gamma de 0.001 y un theta de -0.05. La tasa de interés anual libre de riesgo compuesta continuamente es 0.06. ¿Cuál es el precio de esta opción de compra, como se encuentra usando la ecuación de Scholes Black-Scholes?
Solución BSPDF1. Usamos la fórmula RC (S T ) = (1/2) ïƒ 2 s t 2 î “ t + rs t < /Sub> ∠† T + î¸, que reorganizamos así: C (S t ) = [(1/2) ïƒ 2 S T 2 î “ T + RS T ∠† T + î¸n ]/r = [(1/2) 0.34 2 56 2 0.001 + 0.06*56*0.42 – 0.05] /0.06 = c (56) = $ 25.70768
Problema BSPDF2. Suponga que el marco de los scholes negros posee. Las acciones de Vicious Co. tienen un precio de $ 93 por acción, y el precio tiene una desviación estándar de 0.53. Una cierta opción de compra en las acciones de Vicious Co. tiene un precio de $ 4, un delta de 0.53 y un gamma de 0.01. La tasa de interés anual libre de riesgo compuesta continuamente es 0.02. ¿Cuál es el theta para esta opción de llamada?
SOLUCIÓN BSPDF2. Usamos la fórmula rc (s t ) = (1/2) ïƒ < sup> 2 s t 2 î “ t + rs t ∠† t + î¸, que reorganizamos así: î¸ = rc (s t ) – (1/2) ïƒ 2 s t </// Sub> 2 î “ T – RS T ∠† T . Por lo tanto, î¸ = 0.02*4 – (1/2) 0.53 2 93 2 0.01- 0.02*93*0.53 =
θ = -13.05333205
Problema BSPDF3. Suponga que el marco de Black -Scholes posee. El precio de las acciones de Devious Co. tiene una desviación estándar de 0.74. Una cierta opción de compra en esta acción tiene un precio de $ 25, un delta de 0.29, un gamma de 0.02 y un theta de -0.04. La tasa de interés anual libre de riesgo compuesta continuamente es 0.08. ¿Cuál es el precio actual de una acción de Devious Co. Stock?
Solución BSPDF3. Utilizamos la fórmula RC (S t ) = (1 /2) ïƒ 2 s t 2 î “ t + rs t ∠† t + î¸, que reorganizamos así: 0 = (1/2) ïƒ 2 s t 2 </sup > Î “ T + RS t ∠† t – (rc (s t ) – î¸). Encontramos que
rc (s t ) – î¸ = 0.08*25 + 0.04 = 2.04, (1/2) ïƒ 2 î “” t = (1/2) 0.74 2 0.02 = 0.005476, y r∠† t = 0.08*0.29 = 0.0232. Por lo tanto, tenemos la siguiente ecuación:
0.005476S t 2 + 0.0232S t – 2.04 = 0. por el Fórmula cuadrática, el valor positivo relevante de
s t es s t = $ 17.29872709
Problema BSPDF4. Suponga que el marco de los scholes negros posee. El precio de las acciones de Imperious LLC es de $ 516 por acción y tiene una desviación estándar de 0.22. Una cierta opción de compra en esta acción tiene un precio de $ 67, un delta de 0.03 y un theta de -0.05. La tasa de interés anual libre de riesgo compuesta continuamente es 0.1. ¿Cuál es el gamma de esta opción?
Solución BSPDF4. Usamos la fórmula rc (s t ) = (1/2) ïƒ 2 s t 2 î “ t + rs t ∠† t < /Sub> + î¸, que reorganizamos así: RC (S T ) – î¸ – RS T ∠† T = (1 /2) ïƒ 2 s t 2 î “ t , entonces î” t </sub > = [(rc (s t ) – î¸ – rs t ∠† t )/((1/2) ïƒ 2 s t 2 )] =
[(0.1*67 + 0.05 – 0.1*516*0.03)/((((( 1/2) 0.22 2 516 2 )] = 5.202/6443.3952 = î “ t = 0.0008073333424 </<// P>Problema BSPDF5. Las acciones de Obsequious Co. tienen un precio de $ 40, y este precio tiene una desviación estándar de 0.43. Una cierta opción de compra en esta acción tiene un precio de $ 5, un gamma de 0.0004 y un theta de -0.02. La tasa de interés anual libre de riesgo compuesta continuamente es 0.056. Encuentre el delta de esta opción de llamada.
Solución BSPDF5. Usamos la fórmula rc (s t ) = (1/2) ïƒ 2 s t 2 î “ t + rs t ∠† t < /sub> + î¸, que reorganizamos así: (rc (s t ) – î¸ – (1/2) ïƒ 2 s t </// Sub> 2 î “ t )/rs t = ∠† t
Así , (rc (s t ) – î¸ – (1/2) ïƒ 2 s t 2 î “ t )/(rs t ) = (0.056*5 + 0.02 – (1/2) 0.43 2 40 2 < /sup>0.0004)/(0.056*40) =
∠† t = 0.1075142857 .
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