Esta sección de problemas y soluciones de muestra es parte de La guía de estudio gratuita del actuario para el examen 4/examen c , escrito por el Sr. Stolyarov. Esta es la sección 23 de la guía de estudio. Consulte un índice de todas las secciones siguiendo el enlace en este párrafo.
Si una distribución binomial negativa se trunca cero y el parámetro r â † ‘0, la distribución logarítmica surge .
Esta distribución pertenece a la clase (a, b, 1) (para a = î²/(1+î²) y b = -î²/(1+î²)), tiene un solo parámetro, β> 0, y tiene las siguientes propiedades:
p 1 t = î²/(ln (1+î²) (1+î²)))
p k t = î² k /(k*ln (1+î²)*(1+î²) k )
e (n) = î²/(ln (1+î²)); Var (n) = î² (1+î² – î²/(ln (1+î²)))/(ln (1+î²))
p (z) = 1 – ln (1 -‘ (z-1))/(ln (1+î²))
Tenga en cuenta que la función de probabilidad (PF) se expresa como un PF de truncado cero, porque la distribución logarítmica es un caso limitante de un cero -Contribución binomial negativa truncada.
Fuente:
Modelos de pérdida: de datos a decisiones, (tercera edición), 2008 , por Klugman, S.A., Panjer, H.H. y Willmot, G.E., Capítulo 6, p. 124.
Problemas y soluciones originales de la Guía de estudio gratuita del actuario
Problema S4C23-1. Variable aleatoria X sigue un Distribución logarítmica con î² = 3. Encuentra P 2 T .
Solución S4C23-1. Usamos la fórmula P k t = î² k /(k*ln (1+î²)*(1+î²) k ). Aquí, k = 2, entonces
p 2 t = 3 2 /(2*ln (1+3 )*(1+3) 2 ) = 9/(2*ln (4)*16) = P 2 t = 0.2028789901 .
Problema S4C23-2. Variable aleatoria x sigue una distribución logarítmica con î² = 3. Encuentre e (x).
Solución S4C23-2. Usamos la fórmula E (x) = î²/(ln (1+î²)) = 3/ln (4) = e (x) = 2.164042561 < /b>.
Problema S4C23-3. Variable aleatoria x sigue una distribución logarítmica con î² = 3. Buscar var (x).
> Solución S4C23-3. Usamos la fórmula var (x) = î² (1+ î² – î²/(ln (1+î²))/(ln (1+î²)) =
3 (1+3-3/ln (4))/ln (4) = 3 (4-3/ln (4))/ln (4) = var (x) = 3.973090038 </ B>.
Problema S4C23-4. ¿Alguna vez es posible que la varianza de una distribución logarítmica sea menor que la media? Si es así, ¿cuáles son las condiciones que î² debe cumplir para que esto suceda? Si no, ¿por qué no?
Solución S4C23-4. Para una distribución logarítmica, e (x) = î²/(ln (1+î²)) y
var (x) = î² (1+ î² – î²/(ln (1+î²)))/(ln (1+î²)). Para que Var (x)
(1+ î² – î²/(ln (1+ î²))) <1 o, de manera equivalente, β – î²/(ln (1+î²)) <0 o, de manera equivalente, î² <î²/(ln (1+î²)).
Podemos dividir ambos lados de la desigualdad por î² para obtener 1 <1/ ln (1+î²) â † ‘ln (1+î²) <1â †’ 1+î²
Notamos que todavía está El caso de que î² debe ser mayor que 0.
Por lo tanto, la varianza de una distribución logarítmica puede ser menor que su media, si y solo si
0 <î² .
Problema S4C23-5. Variable aleatoria X sigue una distribución logarítmica con î² = 0.2. Encuentre P (2).
Solución S4C23-5. Usamos la fórmula P (Z) = 1-Ln (1-‘î² (Z-1))/(Ln (1+î²)) para z = 2:
p (2) = 1 – ln (1-0.2 (2-1))/ln (1+0.2) = 1 – ln (0.8) /ln(1.2) = P (2) = 2.223901086 .
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