Hay cuatro tipos de secciones cónicas que los estudiantes aprenderán en un curso avanzado de álgebra. Uno de los cuales es el círculo. Supongamos que tiene un punto y coloca otro punto a 2 pulgadas de él. Ahora regrese al punto original y coloque otro punto a 2 pulgadas de él. A medida que continúe repitiendo este proceso, los puntos que son equidistantes desde el punto original se acercarán cada vez más juntos. Eventualmente esto comenzará a parecerse a un círculo.
Recuerde que el teorema de Pitagorean establece que en un triángulo recto con lados de longitud a, b e hipotenuse c , a 2 + b 2 = c 2 . Resolviendo para c , obtenemos c 2 = √ ( a 2 + < i> b 2 ). Podemos continuar con este concepto para obtener la ecuación de un círculo. Si dejamos que la coordenada ( x , y ) sea una coordenada en un círculo con el centro ( h , k </i >), la distancia entre estos dos puntos se llama radio r del círculo.
La fórmula para r es R <// i> = √ [( x -h ) 2 + ( y – k ) 2 < /sup>]. Si cuadran ambos lados de la ecuación para eliminar el radical, obtenemos la ecuación de un círculo en forma estándar, que es r 2 = ( x </i >- h ) 2 + ( y-k ) 2 .
Ejemplos : Encuentre el centro y el radio de cada círculo y gráfica it . 1. (x – 2) 2 + ( y – 3) 2 = 16. Observe que la ecuación está en forma estándar, por lo que el centro del círculo es (2, 3). Sabemos que R2 = 16, por lo tanto, el radio del círculo es 4. Para graficar el círculo coloca un punto en (2, 3) en un sistema de coordenadas rectangular. Desde ese punto, mueva 4 unidades hacia la izquierda, 4 unidades a la derecha, 4 unidades arriba, 4 unidades hacia abajo y coloque un punto en cada uno. Luego dibuje un círculo a través de los puntos externos.
2. ( x + 1) 2 + y 2 = 9.
Una vez más, la ecuación está en forma estándar, por lo que el centro del círculo es (-1, 0). Sabemos que r 2 = 9, por lo tanto, el radio del círculo es 3. Coloque un punto en (-1, 0) en el gráfico y mueva 3 unidades restantes, Justo, arriba, hacia abajo, y coloque un punto en cada uno. Luego dibuje un círculo a través de los puntos exteriores.
3. Escriba la ecuación del círculo en forma estándar con Radius 5 y Center (4, -1).
Se nos da todo La información que necesitamos en el problema, por lo que sustituimos 4 por h , -1 por k y 5 por r para obtener (x – 4 ) 2 + ( y – (-1)) 2 = 5 2 .
( x – 4) 2 + ( y + 1) 2 = 5 2 .
( x – 4) 2 + ( y + 1) 2 = 25. </P >
A menudo, la ecuación de un círculo no está en forma estándar. En el ejemplo anterior, la ecuación del círculo en forma estándar fue ( x – 4) 2 + ( y + 1) 2 = 25. Si cuadran ( x – 4) y ( y + 1) obtenemos la ecuación en una forma diferente y no factada llamada forma general llamada de la ecuación del círculo. La forma general es x 2 + y 2 + ax + by + c = </i > 0, donde a , b y c son números reales. Podemos tomar la ecuación en forma general y cambiarla a la forma estándar para que sea más fácil de graficar. Esto se hace completando el cuadrado.
Ejemplo: Escribe la ecuación x 2 + y <////// i> 2 – 6 x + 4 y – 23 = 0 en forma estándar y gráfica.
Primero nosotros Reescribe la ecuación agrupando los términos x y los términos y y agregando 23 a ambos lados. Esto nos da x 2 – 6 x + y 2 + 4 y = 23. Ahora completamos el cuadrado dos veces, primero con x 2 – 6 x , luego con Y 2 + 4 y . Esto nos da x 2 – 6 x + 9 + y 2 + 4 y + 4 = 23 + 9 + 4. Ahora factor x 2 – 6 x + 9 y Y 2 + 4 y + 4 por separado para obtener ( x – 3) 2 + + ( y + 2) 2 = 36. Observe que la ecuación ahora está en forma estándar para un círculo. Sabemos que el radio es 6 y el centro es (3, -2).
Ejemplo: Suponga que desea dibujar tres objetivos circulares de tiro con arco. El primer objetivo viene dado por la ecuación x 2 + y 2 = 25. El siguiente objetivo es tangente al primero y se centra en (9, 0). El tercero es tangente al segundo y se centra en (16, 0). ¿Cuáles son las ecuaciones de los otros círculos?
Primero tenemos que descubrir el centro y el radio del primer círculo. La ecuación del círculo está en forma estándar s o el centro es (0, 0). Sabemos que r 2 = 25, por lo tanto r = 5 y un punto final está en (5, 0).
Dado que el segundo círculo es tangente al primer círculo en (5, 0) y el centro está en (9, 0), eso significa que el radio del segundo círculo es 4. así que sabemos que h </i > = 9, k = 0 y r = 4. Por lo tanto, la ecuación del segundo círculo en forma estándar es ( x – 9) < sup> 2 + y 2 = 16.
ya que el tercer círculo es tangente al segundo círculo al final del segundo Círculo en (13, 0), que se obtiene agregando el radio de 4 a la coordenada x del centro. Con el centro del tercer círculo en (16, 0), el radio es 3. Por lo tanto, la ecuación del tercer círculo en forma estándar es ( x – 16) 2 + y 2 = 9.
Esta guía debe eliminar cualquier confusión sobre las ecuaciones y la gráfica de círculos. </ P>
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