La idea de expectativa es crucial para la teoría de la probabilidad y sus aplicaciones. Como alguien que ha aprobado con éxito el examen actuarial P sobre la probabilidad, me gustaría educar al público en general sobre este concepto matemático interesante y útil.
La idea de expectativa se basa en algún conjunto de resultados posibles, cada uno de los cuales tiene una probabilidad conocida. y un pago cuantificable conocido, que puede ser positivo o negativo. Supongamos que estamos jugando un juego llamado X con posibles resultados A, B y C en un turno dado. Cada uno de estos resultados tiene una probabilidad conocida P (A), P (B) y P (C) respectivamente. Cada uno de los resultados se asocia con los pagos establecidos A, B y C, respectivamente. ¿Cuánto se puede esperar ganar en un giro promedio de jugar este juego?
Aquí es donde entra el concepto de expectativa. Hay una probabilidad de P (A) de obtener el pago A, A P (B (B ) Probabilidad de obtener el pago B, y una probabilidad de P (c) de obtener el pago c. La expectativa de un giro dado del Juego X, E (X) es igual a la suma de los productos de las probabilidades para cada evento dado y los pagos para ese evento. Entonces, en este caso,
e (x) = a*p (a) + b*p (b) + c*p (c).
Ahora sustituyamos Algunos números para ver cómo se podría aplicar este concepto. Digamos que el evento A tiene una probabilidad de que ocurran 0.45, y si se produce A, ganas $ 50. B tiene probabilidad de que ocurran 0.15, y si B ocurre B, pierde $ 5. C tiene una probabilidad de que ocurra 0.4, y si C ocurre C, pierde $ 60. ¿Deberías jugar este juego? Averigüemos.
e (x) = a*p (a) + b*p (b) + c*p (c). Sustituyendo los valores dados anteriormente, encontramos que E (x) = 50*0.45 + (-5) (0.15) + (-60) (0.40) = -2.25. Entonces, en un giro promedio del juego, se puede esperar que pierda alrededor de $ 2.25.
Tenga en cuenta que esto corresponde a ninguno de los tres resultados posibles A, B y C. pero sí le informa de Los tipos de resultados a los que te abordarás si juegas este juego para una gran cantidad de turnos. El giro es acercarse al valor esperado E (x). Entonces, si juegas el juego durante 5 turnos, se espera que pierdas 5*2.25 = $ 11.25, pero es probable que experimente cierta desviación de esto en el mundo real. Sin embargo, si juegas el juego durante 100 turnos, se puede esperar que pierdas 100*2.25 = $ 225, y tu resultado del mundo real probablemente estará bastante cerca de este valor esperado.
en su más general Formulario Para una variable aleatoria x, la expectativa de x o e (x) se puede redactar como la suma de los productos de todos los resultados posibles x y sus probabilidades p (x). En notación matemática, e (x) = sigma (x*p (x)) para todos los valores de x. Puede aplicar esta fórmula a cualquier variable aleatoria discreta, i. e., una variable aleatoria que supone solo un conjunto finito de valores particulares.
Para una variable aleatoria continua y, la expectativa matemática es igual a la integral de y*f (y) sobre la región en la que La variable se define. La función f (y) se llama función de densidad de probabilidad de y; Su altura sobre un dominio dado en un gráfico puede ser una indicación de la probabilidad de que la variable aleatoria suponga valores sobre ese dominio.
