Hay cuatro tipos de secciones cónicas, una de las cuales es una parábola. Las ecuaciones y = ax 2 + bx + c y x = ay 2 + by + c son ecuaciones de la forma general de una parábola. Una parábola es el conjunto de todos los puntos a la misma distancia desde un punto fijo llamado Focus y una línea llamada Directrix. La línea que pasa a través del medio de la parábola en el vértice se llama eje de simetría. El gráfico de la ecuación en la forma y = ax 2 + bx + c se abrirá si a> 0 y se abrirá si a <0. el gráfico de la ecuación en la forma x = ay < sup> 2 + by + c se abrirá a la derecha si a> 0 y se abrirá a la izquierda si a <0.
Para encontrar el foco y el directriz, piense en la ecuación de una parábola en el Formulario Y 2 = 4px. Sabemos que esta parábola se abre hacia la derecha. Para la ecuación y2 = x, sabemos que 4p = 1, por lo tanto p = � ¼. Ahora movemos unidades P del vértice a lo largo del eje de simetría para obtener el enfoque. Dado que el vértice es (0,0), el enfoque es (â¼, 0). La ecuación para la directriz en este caso es x = -1/4 y en general, x = -p para una parábola que se abre hacia la derecha o la izquierda. Tenga en cuenta que es fácil determinar el valor de P de la ecuación. Simplemente establezca 4p igual al número frente a la x en la ecuación de la parábola y resuelva. El enfoque siempre estará dentro de la parábola.
La forma estándar de la ecuación de una parábola viene dada por y – k = a (x – h) 2 , si la parábola Se abre hacia arriba o hacia abajo y x – h = (y – k) 2 si la parábola abre hacia la izquierda o hacia la derecha. Si es a> 0, se abre o hacia la derecha y si a <0, la parábola se abre hacia abajo o hacia la izquierda. El vértice de la parábola está en (H, K). El enfoque son las unidades P del vértice y la directriz es la ecuación y = k – p o x = h – p dependiendo de cómo se abra la parábola.
Ejemplo: Encuentre el vértice, eje de simetría, enfoque y directriz de la parábola con la ecuación y = 16 (x + 2) 2 – 4.
Primero debemos obtener la ecuación en forma estándar SO SO Agregamos 4 a ambos lados de la ecuación para obtener
y + 4 = 16 (x + 2) 2 .
La ecuación ahora está en forma estándar, así que nosotros Sepa que el vértice está en (-2, -4) porque h = -2 y k = -4. Dado que la ecuación está en la forma y = x 2 , la parábola se abre, por lo tanto, el eje de simetría es la línea x = -2. Para encontrar el enfoque, recordar la ecuación debe estar en la forma y = 4px 2 . Dado que la ecuación está en esa forma, establecemos 4p = 16 y resolvemos para P para obtener p = 4. Dado que la parábola se abre, movemos 4 unidades del vértice a lo largo del eje de simetría. Entonces nos movemos de (-2, -4) a (-2, -4 + 4) = (-2, 0). El directriz es una línea 4 del vértice en la dirección opuesta. Por lo tanto, la directriz es la línea y = -8.
Ejemplo: Encuentre el vértice, eje de simetría, enfoque y directriz de la parábola con la ecuación x = 8 (y – 3 ) 2 +5.
Primero debemos obtener la ecuación en forma estándar, por lo que restamos 5 de ambos lados de la ecuación para obtener x – 5 = 8 (y – 3) 2 .
La ecuación ahora está en forma estándar, por lo que sabemos que el vértice está en (5, 3) porque h = 5 y k = 3. La forma x = y 2 , la parábola se abre hacia la derecha, por lo tanto, el eje de simetría es la línea y = 3. Para encontrar el enfoque, recuerde que la ecuación debe estar en la forma x = 4py < sup> 2 . Dado que la ecuación está en esa forma, establecemos 4p = 8 y resolvemos para P para obtener p = 2. Dado que la parábola se abre hacia la derecha, movemos 2 unidades del vértice a lo largo del eje de simetría. Entonces nos movemos de (5, 3) a (5 + 2, 3) = (7, 3). El directriz es una línea 2 del vértice en la dirección opuesta. Por lo tanto, la directriz es la línea x = 3.
Ejemplo: Write y = -8x 2 + 64x – 130 en forma estándar y gráfica.
Recuerde que la ecuación una parábola en forma estándar es y – k = a (x – h) 2 . Por lo tanto, primero queremos restar 130 de ambos lados para obtener Y + 130 = -8×2 + 64x.
para obtener el lado derecho de la ecuación en forma estándar de A (x – h) 2 , tenemos que completar el cuadrado.
y + 130 = -8 (x 2 – 8x)
y + 130 – 128 = -8 (x2 -8x + 16) (tome la mitad del coeficiente de 8x y cuadrado y agréguelo a ambos lados. Estamos agregando -128 al lado izquierdo porque estamos agregando -8 (16) al lado derecho) .
y + 2 = -8 (x – 4) 2 (factor el lado derecho)
La ecuación ahora está en forma estándar. Conocemos el vértice de (4, -2). Dado que la ecuación está en la forma y = -x 2 , la parábola se abre hacia abajo. El eje de simetría es x = 4. Para encontrar otras dos coordenadas para trazar en el gráfico, elija valores para x. Elegiremos x = 2. Sustituir 2 en por x en la ecuación para obtener
y + 2 = -8 (2 – 4) 2
y + 2 = -8 (-2) 2
y = -8 (4) -2
y = -34.
Una manera fácil de trazar otra coordenada es Tome un valor para x la misma distancia desde el vértice que el primer valor. En este caso elegimos x = 2, que está a 2 unidades del vértice. Por lo tanto, el otro valor para elegir para x puede ser 2 unidades del vértice en la otra dirección, que es 6. Observe al sustituir 6 por x también obtendremos y = -34. Esa es la manera fácil de trazar la segunda coordenada. Las coordenadas equidistantes del vértice para una parábola en esta forma siempre tendrán la misma coordenada y. Entonces, los puntos para trazar para dibujar las paracolás son el vértice (4, -2) y las coordenadas (2, -34) y (6, -34). Luego dibuje la parábola a través de las coordenadas.
Esta guía debería ayudar a eliminar cualquier confusión sobre el reconocimiento de ecuaciones y gráficos de parábolas.
