En una ecuación con dos variables x y y , el gráfico es una línea. En una ecuación con tres variables x , y y z El gráfico es un plano. Piense en un avión como un muro que se extiende vertical, horizontal o diagonalmente indefinidamente. Las técnicas utilizadas para resolver estos sistemas son básicamente las mismas. Lo primero que desea hacer es reescribir todas las ecuaciones en ax + by + cz = d Forma donde a , b , c y d son números. Elija dos ecuaciones y elimine una variable. Elija otras dos ecuaciones y elimine la misma variable. La idea es reducir el sistema original en dos ecuaciones con dos variables. Luego puede resolver el sistema como lo haría con un sistema con dos variables y dos ecuaciones. La solución es la intersección de los planos. Algunos ejemplos aclararán este proceso.
Ejemplo : resuelva el sistema x + 2y + 3z = 14
2x + y – 2z = -2
3x – 4y + z = -2
Primero elegimos una variable que deseamos eliminar. Eliminemos la variable X utilizando la primera y segunda ecuación. x + 2y + 3z = 14
2x + y -2z = -2
Multiplica la primera ecuación por -2 para obtener
-2x -4y -6z = -28
2x + y -2z = -2
Al agregar las ecuaciones se eliminan los términos x y hemos dejado -3y -8z = -30.
Ahora elija otros dos otros ecuaciones y eliminar los términos x. Usemos la primera ecuación y la tercera ecuación. La razón por la que estamos usando la primera y tercera ecuaciones es porque solo tenemos que multiplicar la primera ecuación antes de agregar para eliminar el término X. Usar la segunda y tercera ecuaciones requeriría multiplicar ambas ecuaciones o multiplicar una u otra ecuación por una fracción, que es más difícil.
Multiplica la primera ecuación por -3 para obtener
-3x -6y -9z = -42
3x -4y + z = -2
Agregue las ecuaciones para obtener -10y -8z = -44.
Ahora tenemos Un sistema de ecuaciones en dos variables.
-3y -8z = -30
-10y -8z = -44
Observe que los términos z son los mismos, por lo que podemos Resta las ecuaciones para eliminar los términos z. Esto nos da 7y = 14, por lo tanto y = 2.
sustituto 2 en para y en cualquier ecuación para obtener -3 (2) -8z = -30 y z = 3. Para resolver para x, usar Una de las ecuaciones originales con y = 2 y z = 3. Usando la primera ecuación obtenemos x + 2 (2) + 3 (3) = 14. Por lo tanto, x = 1. La solución a la ecuación es x = 1, y = 2, z = 3.
A veces, un sistema de ecuaciones dependerá. Esto ocurre cuando dos de las ecuaciones originales son las mismas. Los sistemas también pueden ser inconsistentes. Esto ocurre cuando los coeficientes de las variables en dos ecuaciones son las mismas, pero las constantes son diferentes. Por ejemplo, si dos de las ecuaciones son 2x + 3y + 4z = 1 y 2x + 3y + 4z = -2, los sistemas son inconsistentes. Las mismas ecuaciones no pueden igualar tanto 1 como -2.
Esta guía y ejemplos deben aliviar cualquier confusión sobre los sistemas de ecuaciones lineales con tres variables.
