Las matemáticas pueden no ser un tema favorito para todos, pero hay muchos temas matemáticos que no solo son fáciles de entender, sino que, de hecho, se refieren a aspectos esenciales de la vida cotidiana.
Es una tendencia humana querer agrupar las cosas . Muchos de nosotros tenemos colecciones de cosas como sellos, monedas, macetas y sartenes, o plantas. Pertenecemos a afiliaciones políticas y partidos. La mayoría de nosotros nos identificamos con pertenecer a un grupo de personas u otro. Pero, ¿cómo podemos traducir estos conceptos en términos matemáticos comunes?
De hecho, es realmente más fácil de lo que muchos pueden pensar. En términos matemáticos, los grupos a menudo se conocen como conjuntos . En estos conjuntos, tenemos elementos o miembros , y estas son cosas que pertenecen a un conjunto. El dinero es algo que nos gusta a muchos. Usemos el dinero como ejemplo aquí.
Supongamos que debía tener un pequeño frasco de monedas, y quería dividirlos en ciertas agrupaciones o conjuntos. En este frasco tiene 36 monedas (tal vez es un frasco de vidrio pequeño y vacío que una vez contenía judías verdes tensas, un favorito de la comida para bebés). Ahora, digamos que quieres dividir las monedas en diferentes conjuntos. Tienes un juego de monedas de moneda y un conjunto de cuartos. También desea representar todos los monedas y cuartos que se hicieron en una década común, diga la década de 1960. Finalmente, desea encontrar una manera de representar esas monedas que no son monedas de monedas, cuartos o monedas de los años 60.
¿Qué pasa si desea representar estas monedas de manera visual? En otras palabras, supongamos que quería dar un discurso sobre estos cuatro grupos de monedas, y quería mostrarle a su audiencia un gráfico que les ayudara a visualizar más claramente estos cuatro grupos de monedas. ¿Cómo lo harías?
Bueno, aquí es donde John Venn y su invención — El diagrama Venn — entran en juego. John Venn (1834-1923) fue un lógico que en 1881 ideó lo que ahora sabemos como el diagrama de Venn. Los diagramas de Venn son gráficos que presentan y organizan visualmente grupos y conjuntos. Si bien algunos diagramas de Venn son bastante básicos, ilustrando solo uno o dos conjuntos, otros pueden volverse muy complejos, representando varios grupos de elementos a la vez. Estos conjuntos generalmente están representados por formas geométricas (generalmente círculos u óvalos), y estas formas se colocan dentro de una caja cuadrada o rectangular, que representa todos los elementos posibles (llamados universo) que se consideran. Los diagramas de Venn son vitales en el aprendizaje y la comprensión de la teoría de conjuntos de conjuntos, y a menudo se emplean en varias aplicaciones, incluidos fuera del aula.
Los diagramas de Venn son muy fáciles de entender, especialmente si uno puede comprender los conceptos de conjuntos y grupos . Volviendo a la analogía de las monedas, podemos ver cómo funciona un diagrama básico de Venn.
de 36 monedas, hemos determinado que hay 14 monedas de cinco centavos y 17 cuartos. También hay 5 monedas que no son monedas y cuartos — son centavos y diez centavos (ninguno de las cuales fue acuñado en la década de 1960, por cierto).
Ahora, ¿cómo representamos estos monedas y barrios, y ¿cómo representamos los monedas y cuartos que tienen esa cosa en común? Sabemos que tenemos 14 monedas de cinco centavos y 17 cuartos. La pregunta es ¿cuántos fueron golpeados en la década de 1960? Cuentemos.
está bien, así que después de examinar todos los monedas y cuartos, resulta que había 2 monedas de cinco montones fechadas en la década de 1960, y 1 cuarto golpeó en la década de 1960. ¿Cómo podemos graficar todo esto en el diagrama de Venn?
Primero debemos dibujar un rectángulo grande. Dentro de este rectángulo, necesitamos atraer a los círculos. Asegúrese de que los dos círculos se superpongan ligeramente entre sí.
Marque uno de los círculos como “N.” “N” representará el conjunto de todos los monedas. En el otro círculo, escriba una “Q”, que designará el conjunto de todos los cuartos. En algún lugar del rectángulo (pero no en los círculos), escriba un “O.” “O” representará las “O” otras monedas que no son níquel ni cuartos.
Ahora, el propósito del diagrama de Venn es ilustrar cuántas monedas (o elementos) pertenecen a cada conjunto. Así que volvamos sobre los números. Sabemos que tenemos 36 monedas en total, y hay 14 monedas de cinco centavos y 17 cuartos. Pero, ¿cuántos de los monedas y cuartos fueron golpeados en la década de 1960? Hay 2 monedas de moneda y 1 cuarto fechados en la década de 1960. Usando un poco de aritmética básica, vemos que 2 + 1 = 3. Entonces, hay 3 monedas (monedas y cuartos) fechadas en la década de 1960. ¿Dónde pertenece el número “3” en el diagrama de Venn?
Dado que vemos que la fecha de la década de 1960 es algo que los monedas y cuartos tienen en común, necesitamos colocar ese “3” en un lugar de la Diagrama de Venn que representa la comunidad de las monedas en esos dos conjuntos. En la teoría del set, llamaríamos a esta comunidad la intersección . Al igual que la intersección de dos calles, la intersección de estos dos conjuntos es donde de alguna manera se encuentran las dos agrupaciones diferentes de elementos.
colocaría el número “3” en la parte del diagrama donde los dos círculos Superposición, ya que esta es la representación visual de los dos conjuntos diferentes que se cruzan entre sí.
Ahora, ¿qué números colocaríamos en otra parte del diagrama? Si hubo 14 monedas de moneda en total, dos de los cuales fecharon en la década de 1960, entonces hay 12 monedas de cinco centavos que no fueron fechadas en la década de 1960. Dado que queremos representar un conjunto de monedas de moneda, y 2 ya se han contabilizado en la intersección de las monedas de la década de 1960, entonces podemos colocar el número “12” en la parte del círculo (set) “n” que no se superpone al círculo (establecer) “P.” Ahora, ¿qué hacemos para representar el conjunto de cuartos no fechados en la década de 1960? Si hubo 17 cuartos en total, solo uno fechado en la década de 1960, entonces restamos. Desde 17-1 = 16, hay 16 cuartos que no están fechados en la década de 1960. Colocamos el “16” en la parte del círculo (set) “Q” que no se superpone con el círculo (set) “n”.
Finalmente, tenemos esas monedas que no eran monedas o cuartos o Fechado en la década de 1960. ¿Dónde se representan estas monedas en el diagrama de Venn? Si tenemos 36 monedas en total, sabemos que simplemente podemos restar el número de trimestres (17) y los monedas de cinco monedas para llegar a 5 — 5 monedas que no cayeron en el conjunto de monedas de monedas, el conjunto de cuartos, o el conjunto de intersección y cuartos resultantes de la década de 1960. Colocamos los “5” fuera de los círculos por completo, en la parte del diagrama de Venn etiquetado como “O”. Esta parte de la caja contiene cualquier elemento que formen parte del “universo” pero no elementos de ningún conjunto que hayan representado específicamente por círculos. Ahora, agregemos todos los números en las diferentes regiones del diagrama de Venn y veamos si la suma es correcta.
Entonces, hay 12 monedas no 1960 en el set n, 16 cuartos no 1960 en Set Q, 3 de los años 1960 y cuartos en la intersección de conjuntos N y Q, y 5 monedas en el universo (etiquetado “O”). Si sumamos 12 + 16 + 3 + 5, ¿qué obtenemos? 36. ¿Y con cuántas monedas comenzamos en ese frasco? 36. Entonces vemos que este diagrama de Venn muestra con precisión y convenientemente en términos visuales los diferentes conjuntos de monedas que hemos hecho para el total de 36 monedas que estábamos agrupando.
El diagrama de Venn para este ejemplo se ilustra en este artículo.
Como se explicó anteriormente, los diagramas de Venn pueden volverse mucho más complicados que esto. Sin embargo, este ejemplo muestra cómo se usa básicamente una herramienta matemática, el diagrama de Venn, y explica cómo se puede emplear para ayudar en una situación cotidiana, como contar y agrupar monedas.
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< B> Recursos:
Diagrama de Venn. wikipedia . http://en.wikipedia.org/wiki/venn_diagram
Miller, Charles D., Vern E. Heeren y John Hornsby. Ideas matemáticas expandió la Undécima Edición . Boston, Pearson: 2008.
