Nota:
En este artículo, el producto de 5 y X al cuadrado aparecerá de la siguiente manera
5x 2
Debido a condiciones más allá de mi control, todos Los superíndices aparecen como subíndices.
Consideremos la ecuación polinomial
ax 3 + bx 2 + cx + d </p >
La primera pregunta que entra en la mente es: ¿esta ecuación tiene una raíz común?
Otra palabras hace
(x + n) 3 </sup > = ax 3 + bx 2 + cx + d
donde (x + n) es la raíz cúbica?
No hace falta decir: si hay una raíz cúbica, podría ahorrar mucho tiempo para resolver la ecuación.
Entonces, encontremos la forma general del polinomio que tendría una raíz cúbica tan.
<
< P> Ecuación una
(x +a) (x +a) (x +a) = x 3 +3ax 2 +3a 2 </ Sup> x + a 3
¿La siguiente ecuación tiene una raíz cúbica?
x 3 <// Sup> + 3x 2 + 3x + 1
La respuesta es sí. Se ajusta a la ecuación uno si a = 1
Por lo tanto, de acuerdo con la ecuación uno:
x 3 + 3x 2 + + 3x + 1 = (x + 1) 3
Pero, pero ¿cómo resolveríamos el problema si no supiéramos la respuesta?
vamos a conectar varios Diferentes valores de ‘A’ en la ecuación uno y ver el polinomio resultante.
si a = 2 entonces
x 3 + 3ax 2
+ 3a 2 x + a 3 =
x 3 + 3 *2x 2 + 3*2 2 *x + 2 3 =
x 3 </sup > + 6x 2 + 12x + 8 =
(x + 2) 3
if a = – – 2 Entonces
x 3 + 3ax 2 + 3a 2 x + a 3 < /sup> =
x 3 + 3 (-2) x 2 + 3 (-2) 2 x + (-2) 3 =
x 3 – 6x 2 + 12x – 8
Si a = -1 entonces
x 3 + 3ax 2 + 3a 2 x + a 3 =
x 3 + 3*(-1) x 2 + 3*(-1) 2 </ sup>*x + (-1) 3 =
x 3 – 3x 2 + 3x – 1 3
Tenga en cuenta los signos alternos ( +, – +, -) en la ecuación.
si a = 1 entonces
x < sup> 3 + 3ax 2 + 3a 2 x + a 3 =
x 3 + 3*(1) x 2 + 3*(1) 2 *x + (1) 3 = << /p>
x 3 + 3x 2 + 3x + 1 3
Por lo tanto, según la ecuación uno < /p>
(x + a) 3 = (x + 1) 3 = x 3 + 3x 2 < /sup> + 3x + 1 3
polinomios que no son ecuaciones cúbicas perfectas
si la ecuación no tiene una Raíz cúbica Entonces el problema requiere más trabajo
Consideremos la ecuación
x 3 + 4x 2 + 5x + 2 < /p>
Un examen rápido nos dice que esta ecuación no tiene una buena raíz cúbica de la forma x + n.
¿Cómo sabemos eso?
hay No hay valor de la constante ‘a’ tal que
x 3 + 3ax 2 + 3a 2 x + a < Sup> 3 = x 3 + 4x 2 + 5x + 2
Por lo tanto, tenemos que pescar los factores de este polinomio.
Intentemos resolver este problema tratando de encontrar los factores del polinomio
x 3 + 4x 2 + 5x + 2
Primero intentaremos dividir este polinomio por el simple binomial ‘x + 1.’ Si la división no resulta en el resto, entonces el binomial ‘x + 1’ es una raíz del polinomio.
Sin embargo, la división larga lleva tiempo. Tomemos un atajo y dividamos usando la división sintética.
¿Qué es la división sintética? En la división sintética solo tratamos los coeficientes de la variable ‘x’.
y la constante ‘1.’ El coeficiente de X es ‘1’ y no tiene que considerarse en la división sintética.
‘
en la ecuación
x 3 + 4x 2 + 5x + 2
Los coeficientes de ‘x’ son
1 4 5 2
Si queremos dividir por x + 1, solo necesitamos considerar la constante ‘1’ ‘
Por lo tanto Nuestro problema de división se escribe en la siguiente forma
1 4 5 2 /1
Figura uno de referencia durante la siguiente explicación:
Paso 1
Nuestro primer paso es multiplicar el divisor por el coeficiente de x 3 .
El coeficiente de x
3 </sup > es 1. El divisor es ‘1’
Colocamos el producto ‘1’ en la fila de subtrahend bajo el siguiente coeficiente ‘4’
También colocamos el producto ‘1’ En la fila del cociente en el coeficiente ‘1’
Paso 2
luego restamos ‘4 – 1’ y colocamos la respuesta ‘3’ en la fila marcada Cociente bajo el coeficiente ‘4’
Ahora multiplicamos el divisor ‘1’ por el número ‘3’ en la fila del cociente y colocamos el producto ‘3’ en la fila marcada subtrahend bajo el coeficiente ‘5. <// P>
Paso 3
Ahora restamos ‘5 – 3’ y colocamos la respuesta ‘2’ en el cociente marcado de rol bajo el coeficiente 2.
A continuación, multiplicamos El número ‘2’ en el papel del cociente por el divisor ‘1’. Colocamos el producto bajo el coeficiente ‘2.’
Paso 4
Ahora restamos ‘2 – 2’ y encontramos el resto que es cero.
Por lo tanto, el binomial ‘x + 1’ es un factor de la ecuación x 3 + 4x 2 + 5x + 2
1 4 5 2 /1
.. 1 3 2
1 3 2 0
La línea superior de los números en la Figura uno representan los coeficientes de X in El polinomio original
1x 3 + 4x 2 + 5x + 2
El resultado final de los números en la Figura uno indica coeficientes de x en el cociente de nuestra división.
1x 2 + 3x + 2
y el resto es ‘0.’
Entonces, nuestra respuesta, hasta ahora, es
(x 2 + 3x + 2) (x + 1)
Ahora podríamos factorizar la ecuación cuadrática
x 2 + 3x + 2
El desglose de la ecuación cuadrática general en dos factores binomiales es:
(x + a) (x + b) = x2 + (a + b) x + a*b
Entonces en nuestra ecuación cuadrática
x 2 + 3x + 2
a + b = 3
y a * b = 2
Estas condiciones se cumplen si
a = 2 </p >
y
b = 1
Por lo tanto, los factores son
(x + 2) (x + 1)
Y la solución al problema es
x 3 + 4x 2 + 5x + 2 = (x +1) (x 2 < /sup>+3x+2)
= (x+2) (x+1) (x+1)
——
Ahora que nuestro problema está resuelto, eche un vistazo a la Figura dos. La Figura dos muestra la larga división de
x 3 + 4x 2 + 5x + 2 por x + 1.
sin Repetir la variable X en todo el lugar.
Tenga en cuenta las similitudes entre esta división y la división sintética que realizamos anteriormente. En el divisor vemos ‘1 + 1’ que es corto para ‘1x + 1.’ También tenga en cuenta que la inclusión del coeficiente de la variable x no cambió la respuesta.
Si el coeficiente de x en el divisor es mayor que uno, entonces debemos incluirla en la división sintética. <// P>
Por ejemplo, si el divisor fuera ‘3x + 2’, entonces el divisor utilizado en nuestra división sintética sería ‘3 + 2’
Al hacer división polinomial, debemos incluir todos los poderes de x en el dividendo.
Si tuviéramos el siguiente polinomio
x 4 + 4x 2 + 5x + 2 </ P>
Para los propósitos de la división, escribiríamos esto como
1x 4 + 0x 3 + 4x 2 + 5x + 2
Tenga en cuenta que incluimos cada potencia de x.
Nuestros coeficientes para la división sintética serían
1 0 4 5 2
Los detalles de la división larga se discutirán en otro artículo. Este artículo trata sobre la ecuación polinomial de factorización de la forma
Referencias:
Nuevo álgebra
Número de tarjeta del catálogo de la Biblioteca del Congreso 62-7240
