Analizar las variaciones de las variables dependientes y las sumas de esas variaciones es un aspecto esencial de las estadísticas y la ciencia actuarial. El concepto de covarianza es una herramienta indispensable para dicho análisis.
Supongamos que hay dos variables aleatorias, X e Y. Podemos llamar a las expectativas matemáticas de cada una de estas variables E (x) y E (y) respectivamente y sus variaciones var (x) y var (y) respectivamente. ¿Qué hacemos cuando queremos encontrar la varianza de la suma de las variables aleatorias, x+y? Si X e Y son variables independientes, esto es fácil de determinar; En ese caso, la adición simple logra la tarea: var (x + y) = var (x) + var (y).
Pero, ¿y si x e y dependen? Entonces, la varianza de la suma con mayor frecuencia no simplemente la suma igual de las variaciones. En cambio, la idea de covarianza debe aplicarse al análisis. Denotaremos la covarianza de x e y como cov (x, y).
se necesitan dos fórmulas cruciales para tratar efectivamente el concepto de covarianza:
var (x+ Y) = var (x) + var (y) + 2cov (x, y)
cov (x, y) = e (xy) – e (x) e (y)
Observamos que estas fórmulas funcionan para variables independientes y dependientes. Para variables independientes, var (x + y) = var (x) + var (y), entonces cov (x, y) = 0. De manera similar, para variables independientes, e (xy) = e (x) e (y) , entonces cov (x, y) = 0.
Esto nos lleva a la idea general de que la covarianza de las variables independientes es igual a cero. , de hecho, esto hace que el sentido conceptual sea tan Bueno. La covarianza de dos variables es una herramienta que nos dice cuánto efecto tiene la variación en una de las variables en la otra variable. Si dos variables son independientes, lo que le sucede a uno no tiene ningún efecto en el otro, por lo que la covarianza de las variables debe ser cero.
Las covarianzas pueden ser positivas o negativas, y el signo de la covarianza puede dar información útil sobre el tipo de relación que existe entre las variables aleatorias en cuestión. Si la covarianza es positiva, , existe una relación directa entre dos variables aleatorias; Un aumento en los valores de uno tiende a aumentar también los valores del otro. Si la covarianza es negativa, , existe una relación inversa entre dos variables aleatorias; Un aumento en los valores de uno tiende a disminuir los valores del otro, y viceversa.
En algunos problemas que involucran covarianza, es posible trabajar incluso desde el más básico información para determinar la solución. Cuando se les dan variables aleatorias x e y, si se puede calcular e (x), e (y), e (x 2 ), e (y 2 ) y e e (Xy), uno tendrá todos los datos necesarios para resolver COV (x, y) y var (x+y). Por la forma en que se define cada variable aleatoria, se puede derivar las expectativas matemáticas anteriores y usarlas para llegar a la covarianza y la varianza de las sumas para las dos variables.
