Esta sección de problemas y soluciones de muestra es parte de La guía de estudio gratuita del actuario para el examen 3F/examen MFE , escrito por el Sr. Stolyarov. Esta es la sección 81 de la guía de estudio. Consulte un índice de todas las secciones siguiendo el enlace en este párrafo.
Es probable que los cálculos de volatilidad histórica aparezcan en el examen MFE. Aquí, se dará un método sistemático para encontrar la volatilidad histórica de un conjunto dado de datos del precio de las acciones. … S N+1 Sea los precios de una acción en los tiempos 1 a N+1, con cada período de tiempo de longitud h.
entonces el no anualizado continuamente El retorno compuesto R J para el período de tiempo J (donde J puede ser de 1 a N) son los siguientes: r j = ln (s j+1 /s j )
Entonces la varianza de todos estos retornos no anualizados continuamente compuestos R 1 </sub > a través de r n es ïƒ h 2 = (1/(n-1)) j = 1 </ Sub> n î £ (r j – m) 2 , donde m es la media media de todas las devoluciones R 1 a R N y ïƒ H es la desviación estándar de los retornos por un período de tiempo de longitud H .
La volatilidad histórica anualizada ïƒ de estos retornos es entonces ïƒ = ïƒ h /√ (h)
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< P> Como puede sospechar, el cálculo de la volatilidad histórica es un proceso paso a paso en el que es importante hacer los pasos para que Los primeros cuatro problemas de esta sección ilustrarán los cuatro pasos involucrados en el cálculo de la volatilidad histórica, después de lo cual estará listo para intentar una pregunta al estilo de examen.
Algunos de los problemas en esta sección fueron diseñados para ser Similar a los problemas de las versiones anteriores del examen 3F / Exam MFE. Utilizan las preguntas del examen originales como su inspiración, y la inspiración específica para cada problema se cita para darles a los estudiantes la oportunidad de ver el original. Todos los problemas originales están disponibles públicamente, y se alienta a los estudiantes a referirse a ellos. Pero todos los valores, nombres, condiciones y cálculos en los problemas aquí son el trabajo original del Sr. Stolyarov.
Problemas y soluciones de práctica originales de la Guía de estudio gratuita del actuario: </B >
Problema HV1. Los precios mensuales de un cierto stock se dan de la siguiente manera:
mes 1: s = 654
Mes 2: S = 456
Mes 3: S = 679
Mes 4: S = 524
Mes 5: S = 996
Mes 6: S = 1000
Encuentre los cinco rendimientos mensuales no anualizados continuamente compuestos en el stock, desde r 1 a r 5 </ Sub>.
Solución HV1. Usamos la siguiente fórmula: R J = Ln (S J+1 / S J )
r 1 = ln (s 2 /s 1 ) = ln (456/654) = r 1 = -0.3606145419
r 2 = ln (s 3 /s 2 ) = ln (679/456) = r 2 = 0.398128318
r < Sub> 3 = ln (s 4 /s 3 ) = ln (524/679) = r 3 = -0.2591294432
r 4 = ln (s 5 /s 4 ) = ln (996 /524) = r 4 = 0.6422555733
r 5 = ln (s 6 /S 5 ) = ln (1000/996) = r 5 = 0.0040080214
Problema HV2. Los precios mensuales de cierta acción se dan de la siguiente manera:
Mes 1: S = 654
Mes 2: S = 456
Mes 3: S = 679
Mes 4: S = 524
Mes 5: S = 996
Mes 6: S = 1000
< P> Encuentre la media M de los rendimientos mensuales no anualizados continuamente compuestos en el stock, desde r 1 a r 5 .
SOLUCIÓN HV2. Ya encontramos R 1 a R 5 en solución HV1. Ahora tomamos su promedio aritmético: (-0.3606145419 + 0.398128318 – 0.2591294432 + 0.6422555733 + 0.0040080214)/5 =
m = 0.0849295855
b> Los precios mensuales de cierta acción se dan de la siguiente manera:
mes 1: s = 654
mes 2: s = 456
mes 3 : S = 679
Mes 4: S = 524
Mes 5: S = 996
Mes 6: S = 1000
Encuentre la varianza de los rendimientos mensuales no anualizados continuamente compuestos en el stock, desde R 1 a R 5 .
Solución HV3. Usamos la fórmula ïƒ H 2 = (1/(N-1)) J = 1 n << /sup> î £ (r j – m) 2 . Aquí, n = 5, M = 0.0849295855 de la solución HV2, y el R J se conoce de la solución HV1. Por lo tanto,
ïƒ H 2 = (1/4) J = 1 5 Î £ (R J – 0.0849295855) 2 =
(1/4) [(R 1 – 0.0849295855) 2 + (r 2 – 0.0849295855) 2 + (r 3 – 0.0849295855) 2 <// sup> + (r 4 – 0.0849295855) 2 + (r 5 – 0.0849295855) 2 ] = </</< p>
(1/4) [( – 0.3606145419 – 0.0849295855) + (0.64222555733 – 0.0849295855) 2 + (0.0040080214 – 0.0849295855) 2 ] =
ïƒ H < /Sub> 2 = 0.1830350467
Problema HV4. Los precios mensuales de un cierto stock se dan de la siguiente manera: </p >
Mes 1: S = 654
Mes 2: S = 456
Mes 3: S = 679
Mes 4: S = 524 < /P>
Mes 5: S = 996
Mes 6: S = 1000
Encuentre la volatilidad histórica anualizada de los rendimientos de este stock durante el período de tiempo dado. < /P>
Solución HV4. Usamos la fórmula ïƒ = ïƒ H /√ (H). De la solución HV3, ïƒ H 2 = 0.1830350467, entonces
ïƒ H = 0.4278259538. Aquí, dado que cada período de tiempo es un mes, H = 1/12. Por lo tanto, la volatilidad histórica ïƒ = 0.4278259538/√ (1/12) = ïƒ = 1.482032578
Problema HV5.
Similar a la pregunta 17 de las preguntas y soluciones MFE de muestra de la Sociedad de Actuarios:
Los precios mensuales de cierta acción se dan de la siguiente manera:
Mes 1: S = 135
Mes 2: S = 90
Mes 3: S = 135
Mes 4: S = 90
<< P> Mes 5: S = 60
Mes 6: S = 90
Mes 7: S = 135
Encuentre la volatilidad histórica anualizada de los retornos de Este stock durante el período de tiempo dado.
Solución HV5 . Primero, intentamos encontrar los retornos mensuales continuamente compuestos R 1 a R 6 , utilizando la fórmula R J = Ln (S j+1 /s j ).
Convenientemente lo suficientemente, 90/135 = 2/3 y 135/90 = 3/2. Del mismo modo, 60/90 = 2/3 y 90/60 = 3/2.
Por lo tanto, cada uno de los r j es ln (3/2) o ln ( 2/3) = -ln (3/2). Además, notamos que las acciones subieron de precio tres veces durante este período de tiempo y bajó el precio de las otras tres veces. Por lo tanto, el rendimiento promedio de este stock m es igual a [3ln (3/2) + 3 (-ln (3/2))]/6 = 0.
Ahora usamos la fórmula ïƒ < Sub> H 2 = (1/(N-1)) J = 1 n î £ (r j – m) 2 para encontrar la varianza de estos retornos. Aquí, m = 0, n = 6, y cada uno (r j ) 2 es [-ln (3/2)] 2 o o [ln (3/2)] 2 , los cuales son 0.1644019539.
Por lo tanto, ïƒ h 2 = (1/5) J = 1 6 î £ (0.1644019539) = (1/5)*6*0.1644019539 = ïƒ h 2 = 0.1972823447, entonces
ïƒ H = 0.444164772 y ïƒ = ïƒ H /√ (H). Aquí, H = 1/12, ya que cada período de tiempo es un mes.
Por lo tanto, ïƒ = 0.444164772/√ (1/12) = ïƒ = 1.538631904
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